Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité
Arithmétique
Exercice 1 : PGCD - Déterminer les pgcd possibles de 2 expressions
\(n\) est un entier relatif.
Donner l'ensemble des valeurs possibles du PGCD de 5 + 2n et de 8 + 6n.
(On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple {1; 3} ou [2; 4[)
(On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple {1; 3} ou [2; 4[)
Exercice 2 : Equation de congruence simple (une seule solution)
Sachant que \( 0 \leq a \lt 11 \), résoudre l'équation suivante :
\[ 159 \equiv a \ [11] \]
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).
Exercice 3 : Equation diophantienne (bac 2011)
On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(n\) vérifiant le système :
\[
\begin{cases}
n \equiv 3 \left[17\right] \\
n \equiv 4 \left[5\right]
\end{cases}
\]Recherche d’un élément de \(\mathcal{S}\).On désigne par \(\left(u\ ; \ v \right)\) un couple d’entiers relatifs tel que \[17u + 5v = 1\]
Donner un exemple de couple vérifiant cette égalité.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)
Dans les 3 prochaines questions, on supposera \(u\) et \(v\) inconnus.
On pose
\[n_0 = 4 \times 17 u + 3 \times 5 v\]
Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(u\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.
On donnera la réponse sous une forme réduite.
Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(v\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.
On donnera la réponse sous une forme réduite.
\(n_0\) appartient-il à \(\mathcal{S}\) ?
Que vaut \(n_0\) ? On utilisera le couple \(\left(u\ ; \ v\right)\) trouvé précédemment.
Ecrire la forme générale des solutions de \(\mathcal{S}\).
On écrira la solution en fonction de \(k\) un entier relatif quelconque.
On écrira la solution en fonction de \(k\) un entier relatif quelconque.
Zoé sait qu’elle a entre 650 et 818 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 3. Si
elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 4.
Combien a-t-elle de jetons ?
Exercice 4 : Equation diophantienne
On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(\left(x \ ; \ y\right)\) vérifiant l'équation:
\[
5x + 18y = 1
\]Trouver un couple solution de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)
Déterminer tous les couples d'entiers relatifs \(\left(x \ ; \ y\right)\) solution de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(3 + 3k \ ; \ 2 + 2k\right)\), où k est un entier relatif quelconque
On écrira la réponse sous la forme \(\left(3 + 3k \ ; \ 2 + 2k\right)\), où k est un entier relatif quelconque
Exercice 5 : Divisibilité - Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tel que deux expressions soient divisibles
Donner l'ensemble des entiers relatifs \( n \) tels que \( \left(- n -2\right) \) divise \( \left(3 -4n\right) \).
(On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3 \} \) ou \( \left[2; 4 \right[ \))
(On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3 \} \) ou \( \left[2; 4 \right[ \))